2018北师大版文科数学高考总复习教师用书：8-2空间图

第2讲 空间图形的基本关系与公理

最新考纲 1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.了解可以作为推理依据的公理和定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．

知 识 梳 理

1．空间图形的公理

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．

(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．

(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．

(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． (5)等角定理

空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 2．空间点、直线、平面之间的位置关系

图形 平行关系 语言 符号 语言 图形 相交关系 语言 符号 语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l a∥b a∥α α∥β 直线与直线 直线与平面 平面与平面

图形 独有关系 语言 符号 语言

3.异面直线所成的角

a，b是异面直线 aα (1)定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角． π

(2)范围：0，2.



诊 断 自 测

1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)

精彩PPT展示

(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．( ) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( ) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( ) (4)若直线a不平行于平面α，且a

α，则α内的所有直线与a异面．( )

解析 (1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误．

(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误． (4)由于a不平行于平面α，且a交的直线，故错误．

答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×

2．(必修2P52B1(2)改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )

α，则a与平面α相交，故平面α内有与a相

A．30° B．45° C．60° D．90°

解析 连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°. 答案 C

3.在下列命题中，不是公理的是( ) A．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内

D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

解析 选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的． 答案 A

4．(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α ，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 由题意知a

α，b

β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有

公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件． 答案 A

5．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________． 答案 b与α相交或b∥α或b

α

考点一 空间图形的公理及应用 【例1】 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点．求证：

(1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点．

证明 (1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B.

又A1B∥CD1，∴EF∥CD1， ∴E，C，D1，F四点共面． (2)∵EF∥CD1，EF平面ABCD，得P∈平面ABCD.

同理P∈平面ADD1A1.

又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA. ∴CE，D1F，DA三线共点．

规律方法 (1)证明线共面或点共面的常用方法 ①直接法，证明直线平行或相交，从而证明线共面．

②纳入平面法，先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．

③辅助平面法，先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合． (2)证明点共线问题的常用方法

①空间图形的公理法，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据空间图形的公理3证明这些点都在这两个平面的交线上．

②纳入直线法，选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．

11

【训练1】 如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊2AD，BE綊2FA，G，H分别为FA，FD的中点．

(1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？

11

(1)证明 由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊2AD.又BC綊2AD，∴GH綊BC，

∴四边形BCHG为平行四边形．

1

(2)解 ∵BE綊2AF，G为FA的中点，∴BE綊FG， ∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG. 由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面． 又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面． 考点二 判断空间两直线的位置关系

【例2】 (1)(2015·广东卷)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( ) A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交

C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交

(2)(2017·南昌一中月考)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．

解析 (1)法一 由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交．

若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾． 故l至少与l1，l2中的一条相交．

法二 如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确．

(2)在图①中，直线GH∥MN；

在图②中，G，H，N三点共面，但M∉面GHN，N∉GH，因此直线GH与MN异面；

在图③中，连接QM，GM∥HN， 因此GH与MN共面；

在图④中，G，M，N共面，但H∉面GMN，G∉MN， 因此GH与MN异面．

所以在图②④中GH与MN异面． 答案 (1)D (2)②④

规律方法 (1)异面直线的判定方法

①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．

②定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．

(2)点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．

【训练2】 (1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是( )

A．MN与CC1垂直 B．MN与AC垂直 C．MN与BD平行 D．MN与A1B1平行

(2)(2017·西安调研)a，b，c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b或a，b相交或a，b异面；②若b

M，a∥b，则a∥M；

③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确的为( ) A．①④ B．②③ C．③④ D．①② 解析 (1)

如图，连接C1D，

在△C1DB中，MN∥BD，故C正确； ∵CC1⊥平面ABCD，BD∴MN⊥CC1，故A正确；

∵AC⊥BD，MN∥BD，∴MN⊥AC，故B正确； ∵A1B1与BD异面，MN∥BD，

∴MN与A1B1不可能平行，故选项D错误．

(2)对于①，当a∥M，b∥M时，则a与b平行、相交或异面，①为真命题．②中，b

M，a∥b，则a∥M或a

M，②为假命题．命题③中，a与b相交、

平面ABCD，∴CC1⊥BD，

平行或异面，③为假命题．由线面垂直的性质，命题④为真命题，所以①，④为真命题． 答案 (1)D (2)A

考点三 异面直线所成的角

【例3】 (1)(2017·合肥模拟)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC

的中点，AA1∶AB＝2∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．

(2)(2016·全国Ⅰ卷)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为( ) 32A.2 B.2 31C.3 D.3 解析

(1)取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE，

在Rt△AB1E中，∠AB1E为异面直线AB1与BD所成的角． 3

设AB＝1，则A1A＝2，AB1＝3，B1E＝2，故∠AB1E＝60°. (2)

根据平面与平面平行的性质，将m，n所成的角转化为平面CB1D1与平面ABCD的交线及平面CB1D1与平面ABB1A1的交线所成的角．设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.

∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m. 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1， 且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1， ∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m.

∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1， 且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1， 同理可证CD1∥n.

因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角． 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形， 3

故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为2. 答案 (1)60° (2)A

规律方法 (1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．

(2)求异面直线所成角的三个步骤

①作：通过作平行线，得到相交直线的夹角． ②证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角．

③求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．

【训练3】 如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )

12A.5 B.5 34C.5 D.5 解析 连接BC1，

易证BC1∥AD1，

则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角． 连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2， 则A1C1＝2，A1B＝BC1＝5， 在△A1BC1中，由余弦定理得 5＋5－24

cos∠A1BC1＝＝5.

2×5×5答案 D

[思想方法]

1．主要题型的解题方法

(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)．

(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上． 2．判定空间两条直线是异面直线的方法

(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.

(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．

3．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为相交直线的夹角，体现了化归思想． [易错防范]

1．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．

2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．

3．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．(2015·湖北卷)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则( )

A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C．p是q的充分必要条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

解析 直线l1，l2是异面直线，一定有l1与l2不相交，因此p是q的充分条件；若l1与l2不相交，那么l1与l2可能平行，也可能是异面直线，所以p不是q的必要条件．故选A. 答案 A

2．(2017·郑州联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a

α，a

β，且a在α，

β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( ) A．相交或平行 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面

解析 依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，选D. 答案 D

3．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面．其中正确的序号是( ) A．① B．①④ C．②③ D．③④ 解析 显然命题①正确．

由于三棱柱的三条平行棱不共面，②错． 命题③中，两个平面重合或相交，③错．

三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题④正确． 答案 B

4．(2017·安庆模拟)a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是( )

A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面 B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交 C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等 D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c

解析 若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C. 答案 C

5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为( ) 4325A.5 B.5 C.3 D.7 解析

连接DF，则AE∥DF，

∴∠D1FD为异面直线AE与D1F所成的角． 设正方体棱长为a，

55

则D1D＝a，DF＝2a，D1F＝2a， 5252

a＋a－a2223

∴cos∠D1FD＝＝5. 552·2a·2a

答案 B 二、填空题

6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：

①直线AM与CC1是相交直线； ②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线； ④直线MN与AC所成的角为60°. 其中正确的结论为________(填序号)．

解析 A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B中，但C∉平面AD1C1B，C1∉AM，因此直线AM与CC1是异面直线，同理AM与BN也是异面直线，①②错；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N∉平面MBB1，B∉MB1，因此直线BN与MB1是异面直线，③正确；连接D1C，因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为60°. 答案 ③④

7．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．

解析 取CD的中点H，连接EH，FH.在正四面体CDEF中，由于CD⊥EH，CD⊥HF，且EH∩FH＝H，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，则平面EFH与正方体的左右两侧面平行，则EF也与之平行，与其余四个平面相交． 答案 4

8．(2014·全国Ⅱ卷改编)直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为________． 解析 如图所示，

取BC中点D，连接MN，ND，AD. ∵M，N分别是A1B1，A1C1的中点， 11

∴MN綊2B1C1.又BD綊2B1C1，

∴MN綊BD，则四边形BDNM为平行四边形，因此ND∥BM， ∴∠AND为异面直线BM与AN所成的角(或其补角)． 设BC＝2，则BM＝ND＝6，AN＝5，AD＝5， 在△ADN中，由余弦定理得 ND2＋AN2－AD230

cos∠AND＝＝2ND·AN10. 30

故异面直线BM与AN所成角的余弦值为10. 30

答案 10 三、解答题

9.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：

(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由； (2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．

解 (1)AM，CN不是异面直线．理由：连接MN，A1C1，AC.

因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1. 又因为A1A綊C1C，所以四边形A1ACC1为平行四边形， 所以A1C1∥AC，所以MN∥AC， 所以A，M，N，C在同一平面内， 故AM和CN不是异面直线． (2)直线D1B和CC1是异面直线．

理由：因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线， 则存在平面α，使D1B

平面α，CC1

平面α，

所以D1，B，C，C1∈α，

这与B，C，C1，D1不共面矛盾．所以假设不成立， 即D1B和CC1是异面直线．

10．(2017·咸阳中学月考)如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．

π已知∠BAC＝，

2

AB＝2，AC＝23，PA＝2.求： (1)三棱锥P－ABC的体积；

(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值． 1

解 (1)S△ABC＝2×2×23＝23， 三棱锥P－ABC的体积为

114V＝3S△ABC·PA＝3×23×2＝33. (2)

如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角)．

在△ADE中，DE＝2，AE＝2，AD＝2， 22＋22－23cos∠ADE＝＝.

2×2×24

3

故异面直线BC与AD所成角的余弦值为4.

能力提升题组 (建议用时：20分钟)

11．以下四个命题中，

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面； ③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． 正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3

解析 ①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确．②从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形． 答案 B

12．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( ) A．l1⊥l4

B．l1∥l4

C．l1与l4既不垂直也不平行 D．l1与l4的位置关系不确定 解析

如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA.若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C.

若取C1D为l4，则l1与l4相交；若取BA为l4，则l1与l4异面；取C1D1为l4，则l1与l4相交且垂直．

因此l1与l4的位置关系不能确定． 答案 D

13．如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为________．

解析 取

1DE的中点H，连接HF，GH.由题设，HF綊2AD. ∴∠GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角)． 在△GHF中，可求HF＝2， GF＝GH＝6，

2＋6－63

∴cos∠HFG＝＝.

2×2×663

答案 6 14.如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．

(1)求四棱锥O－ABCD的体积；

(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值． 解 (1)由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4， 18

所以四棱锥O－ABCD的体积V＝3×4×2＝3.

(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，又M为OA中点，∴ME∥OC，

则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知可得DE＝2，EM＝3，MD＝5， ∵(2)2＋(3)2＝(5)2， ∴△DEM为直角三角形， DE26∴tan∠EMD＝EM＝＝3. 3

6

∴异面直线OC与MD所成角的正切值为3.

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