对应学生书P315
一、选择题
1．(1＋ | )6 | 10 展开式中的常数项为() |
A．1B．46C．4245D．4246
解析：设二项展开式的通项为C6m·x·C10n·x－＝C6m·C10n·x－，
当－＝0，即4m＝3n时，展开式中含常数项．
∵m＝0,1,2,3，…，6，n＝0,1,2，…，10，
∴m＝0，n＝0或m＝3，n＝4或m＝6，n＝8，
∴展开式中的常数项为：C60C100＋C63C104＋C66C108＝4246.
答案：D
2．若n展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为()
A．10B．20
C．30D．120[
解析：由展开式的二项式系数之和为，得2n＝，得n＝6，则展开式中的第r＋1项Tr＋1＝C6rx6－r(x－1)r＝C6rx6－2r.
令6－2r＝0，得r＝3.
则展开式中的常数项为T4＝C63＝20.
答案：B
3．在(1＋x)n(n∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝()A．8B．9
C．10D．11
解析：n＝10时，展开式有11项，中间项是x5，且系数最大．
答案：C
4．设(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，则a0，a1，…，a8中奇数的个数为()
A．2B．3
C．4D．5
解析：由于(1＋x)8的展开式的通项为Tr＋1＝C8rxr，因此ar＝C8r(其中r＝0,1,2，…，8)，
由此可知，其中a0、a8是奇数，其余的系数均为偶数，因此选A.
答案：A
5．若 n的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为()
A．－540B．－162
C．162D．540
解析：令 ＝1，则各项系数和等于2n＝，
∴n＝6，Tr＋1＝C6r(3 )6－rr
＝(－1)r36－rC6r·x3－r，令3－r＝0，则r＝3，
∴常数项为T4＝－33·C63＝－540.
答案：A
6．若n为奇数，则7n＋Cn1·7n－1＋Cn2·7n－2＋…＋Cnn－1·7被9除所得余数为()
A．8B．7
C．2D．0
解析：∵n为奇数，(－1)n＝－1，
∴7n＋Cn1·7n－1＋Cn2·7n－2＋…＋Cnn－1·7＝(7＋1)n－1＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－Cn19n－1
＋Cn29n－2－…＋Cnn－1×9＋(－1)n－1＝9n－Cn19n－1＋Cn29n－2－…＋Cnn－1×9－2.
∴原式＋2能被9整除，
∴原式被9除所得余数为7.
答案：B
二、填空题
7．(2011·南通市九校联考)已知(xcosθ＋1)5的展开式中x2的系数与 4的展开式中
x3的系数相等，则cosθ＝__________.
解析：依题意得C53cos2θ＝C41·，
∴10cos2θ＝5，∴cosθ＝± .
答案：± [
8．(2010·辽宁)(1＋x＋x2)6的展开式中的常数项为__________．
解析：因为(1＋x＋x2) 6＝(1＋x＋x2)
＝(1＋x＋x2) ，
所以常数项为1×(－20)＋x2· ＝－5.
答案：－5
9．(2010·浙江)设n≥2，n∈N， | n－ | n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，将 | ||
|ak|(0≤k≤n)的最小值记为Tn，则T2＝0，T3＝ | － | ，T4＝0，T5＝ | － | ，…，Tn，… |
其中Tn＝__________.
解析：|ak|＝
＝|Cnk(22k－n－32k－n)|＝Cnk|22k－n－32k－n|.
若n为偶数，则当n＝2k，即2k－n＝0时，|ak|＝0，即Tn＝0；
若n为奇数，|ak|＝Cnk|22k－n－32k－n|，当k＝0时，Cn0最小，
|22k－n－32k－n|最小，故|ak|最小，即Tn＝ | － | . |
综上，Tn＝
答案：
三、解答题
10．已知(a2＋1)n展开式中各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a2＋1)n
的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a的值．
解析：由 | 5－r | 5 得， | r＝( | )5－r·C5r·x | . |
Tr＋1＝C5r |
令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，
∴r＝4，∴常数项T5＝C54×＝16.
又(a2＋1)n展开式的各项系数之和等于2n，
由题意得2n＝16，∴n＝4.
由二项式系数的性质知，(a2＋1)n展开式中二项式系数最大的项是中间项T3，∴C42a4＝54，∴a＝± .
11．若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.
(1)求a2；
(2)求a1＋a2＋…＋a10；
(3)求(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2.
解析：(1)方法一：(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，
(x－1)5展开式的通项公式为
C5r·(－1)r·x5－r(0≤r≤5)．
(x－2)5展开式的通项公式为
C5s·(－2)s·x5－s(0≤s≤5)，
所以(x2－3x＋2)5展开式的通项公式为
C5r·C5s·(－1)r＋s·2s·x10－r－s，
令r＋s＝8，得 | 或 | 或 |
所以展开式中x2的系数为
C53C5525＋C54C5424＋C55C5323＝800，即a2＝800.
方法二：(x2－3x＋2)5的本质是5个x2－3x＋2相乘，由多项式的乘法法则，产生含x2的项有两种可能：
①5个x2－3x＋2中有一个取含x2的项，其他的取常数项，得到的系数是C51·24＝80； ②5个x2－3x＋2中有两个取含x的项，其他的取常数项，得到的系数是C52·(－3)2·23＝720.
∴展开式中含x2的项的系数是80＋720＝800，即a2＝800.
(2)令f(x)＝(x2－3x＋2)5
＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，
a0＝f(0)＝25＝32，
a0＋a1＋a2＋…a10＝f(1)＝0，
∴a1＋a2＋…＋a10＝－32.
(3)(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－…＋a10)
＝f(1)·f(－1)＝0.
12．(2011·郑州质检)设数列{an}是等比数列，a1＝C2m＋33m·Am－21，公比q是 4
的展开式中的第二项．
(1)用n、x表示通项an与前n项和Sn；
(2)若An＝Cn1S1＋Cn2S2＋…＋CnnSn，用n、x表示An.
解析：(1)∵a1＝C2m＋33m·Am－21，
∴ | 即 | ∴m＝3. | ＝x， |
由 | |||
4 知T2＝C41·x4－1· | |||
∴an＝xn－1，Sn＝
(2)当x＝1时，Sn＝n，
An＝Cn1＋2Cn2＋3Cn3＋…＋nCnn.
又∵An＝nCnn＋(n－1)Cnn－1＋(n－2)Cnn－2＋…＋Cn1＋0·Cn0，∴2An＝n(Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn)，
∴An＝n·2n－1.[来源:Zxxk.Com]
当x≠1时，Sn＝，
An＝ Cn1＋ Cn2＋ Cn3＋…＋Cnn＝ ·[(Cn1＋Cn2＋Cn3＋…＋Cnn)－
(xCn1＋x2Cn2＋x3Cn3＋…＋xnCnn)]＝[2n－1－(1＋xCn1＋x2Cn2＋…＋xnCnn－1)]＝ [2n
－(1＋x)n]．
∴An＝
自助餐·选做题
1．(2011·辽宁实验中学月考)已知2n的展开式中，各项系数的和与其各项二
项式系数的和之比为，则n等于()
A．4B．3C．6D．7
解析：令x＝1可得各项系数的和为42n，各项二项式系数的和为22n，由题知＝，
即22n＝，故n＝3.
答案：B
2．(2010·安徽师大附中期中) n的二项展开式中，若各项的二项式系数的和
是128，则含x5项的系数是__________．(以数字作答)
解析：因为 n的二项展开式中，各项的二项式系数的和为128，所以2n＝128，
n＝7.该二项展开式中的第r＋1项为Tr＋1＝C7r·2r(x－)7－r(x)r＝C7r·2rx ，令 ＝
5得r＝4，所以展开式中含x5项的系数为C74×24＝560.
答案：560
3．求3的展开式中的常数项．
4．设(2－ x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100·x100，求下列各式的值：
(1)a0；
(2)a1＋a3＋a5＋…＋a99；
(3)(a0＋a2＋a4＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2.
解析：(1)由(2－ x)100展开式中的常数项为C1000·2100，即a0＝2100，或令x＝0，则展开式可化为a0＝2100.
(2)令x＝1，得
a0＋a1＋a2＋…＋a99＋a100＝(2－ )100.①
令x＝－1，可得
a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋ )100.②
联立①②可解得，
a1＋a3＋…＋a99＝ .
(3)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)
＝(2－ | )100(2＋ | )100＝1. |
Copyright © 2019- huatuo6.cn 版权所有 赣ICP备2024042791号-9
违法及侵权请联系：TEL:199 18 7713 E-MAIL:2724546146@qq.com
本站由北京市万商天勤律师事务所王兴未律师提供法律服务