2013高三数学总复习选修4-4-1坐 标 系

对应学生书P569

1．(2010·广东)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的

极坐标为__________．

解析：曲线ρ＝2sinθ化为直角坐标系方程为x2＋y2－2y＝0.

由ρcosθ＝－1可化为x＝－1.将x＝－1代入x2＋y2－2y＝0得x＝－1，y＝1，因此交点

的直角坐标为(－1,1)，化为极坐标为.

答案：

2．已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcosθ＝3，ρ＝4cosθ ，则

曲线C1与C2交点的极坐标为______．

答案：

3．已知点M的极坐标为 ，则点M关于y轴对称的点的直角坐标为__________．

解析：∵点M的极坐标为 ，

∴x＝6cos＝6cos＝6× ＝3 ，

y＝6sin ＝6sin ＝－6×＝－3.

∴点M的直角坐标为(3 ，－3)，

∴点M关于y轴对称的点的直角坐标为(－3，－3).

答案：(－3 ，－3)

4．(2010·江苏)在极坐标系中，已知圆ρ＝2cosθ与直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求

实数a的值．

解析：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，

直线的方程为3x＋4y＋a＝0.

由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有 ＝1，

解得a＝2，或a＝－8.

故a的值为－8或2.[来源:学科网ZXXK]

5．(2011·徐州模拟)若两条曲线的极坐标方程分别为ρ＝1与ρ＝2cos ，它们相交

于A，B两点，求线段AB的长．

解析：由ρ＝1得x2＋y2＝1，

又∵ρ＝2cos ＝cosθ－ sinθ，

∴ρ2＝ρcosθ－ ρsinθ.

∴x2＋y2－x＋y＝0.

由 得A(1,0)，B ，[来源:Zxxk.Com]

∴|AB|＝ ＝ .

6．在极坐标系中，已知圆C的圆心C ，半径r＝3，

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)若Q点在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且|OQ|∶|QP|＝3∶2，求动点P的轨迹

方程．

解析：(1)设M(ρ，θ)为圆C上任一点，OM的中点为N，

∵O在圆C上，

∴△OCM为等腰三角形．

由垂径定理可得

(2)设点P的极坐标为(ρ，θ)，因为P在OQ的延长线上，且|OQ|∶|QP|＝3∶2，所以点Q

的坐标为(ρ，θ)，由于点Q在圆上，所以ρ＝6cos .

故点P的轨迹方程为ρ＝10cos .

，直线l经过A点，

(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程；

所以M(2,0)；

(2)M点的直角坐标为(2,0)，

所以直线OP的极坐标方程为θ＝，ρ∈R.

9．(2009·浙江)“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块在极坐标系中，极点为O.已知

.

(1)求曲线C围成的区域的面积；
(2)若直线l：ρsin ＝k(k∈R)与曲线C恰有两个公共点，求实数k的取值范围．[来源:Zxxk.Com]

解析：(1)如图，设两段小圆弧所在圆的圆心分别为A、C，它们的衔接点为B，则四边形OABC是边长为1的正方形，曲线C围成的区域面积

S＝π·22＋1·1＋·π·12＝1＋π.

(2)如图，以极点为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，其中点M为圆A与x

轴正半轴的交点，点N为圆C与y轴正半轴的交点，则小圆弧所在的圆方程分别为(x

－1)2＋y2＝1，x2＋(y－1)2＝1.

大圆弧所在的圆方程为x2＋y2＝4.

直线l：ρsin(θ＋)＝k在直角坐标系下的方程为x＋y＝ k.

当l与圆弧相切时，l的方程为

y＝－x－2 ；

当l过M，B，N三点时，l的方程为

y＝－x＋2；

当l与圆弧都相切时，记l与曲线C的切点分别为E，F，且与x轴的交点为D.

在等腰直角三角形AED中，

，半径r＝1，Q点在圆C上运动．

在△QOC中，由余弦定理得：
|QC|2＝|OQ|2＋|OC|2－2|OQ|·|OC|·cos∠QOC，

代入得ρ2－6ρcos ＋8＝0，为所求的圆C的极坐标方程．

设P(ρ，θ)，Q(ρ0，θ0)，由P在线段OQ上，且OP∶PQ＝2∶3知，ρ0＝ρ，θ0＝θ，

方程.