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8-7 圆锥曲线的综合问题(理)
基础巩固强化
1.(2012·潍坊教学质量监测)椭圆＋＝1 的离心率为e，点(1，e)
是圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0 的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程
是()
A．3x＋2y－4＝0 C．3x－2y－2＝0 [答案]B
B．4x＋6y－7＝0
D．4x－6y－1＝0
[解析]依题意得e＝，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，)
的连线的斜率为 ＝，则所求直线的斜率等于－，所以所求直线
方程是y－＝－(x－1)，即4x＋6y－7＝0，选B.
2．(2011·宁波十校联考)已知抛物线y＝－x2＋3 上存在关于直线
x＋y＝0 对称的相异两点A、B，则|AB|等于()
A．3 B．4
C．3 D．4
[答案]C
[解析]设A(x1,3－x )，B(x2,3－x )，由于A、B 关于直线x＋y＝
0 对称，∴ | 解得 | 或 | 设直线AB 的斜率为kAB， |
∴|AB|＝ | |x1－x2|＝3 | .故选C. | |
3．设F 是抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点，点A 是抛物线C1 与
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双曲线C2： | － | ＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x |
轴，则双曲线的离心率为()
A．2 B.
C. D.
[答案]D
[解析]由题意可知，抛物线C1 的焦点为F( ，0)，因为AF⊥x
轴，则A( ，±p)，不妨取A( ，p)，则双曲线C2 的渐近线的斜率为＝
，∴＝2，令a＝1，则b＝2，c＝＝ ，∴e＝＝ .
4．(2011·南昌检测)过椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的左焦点F1 作x 轴
的垂线交椭圆于点P，F2 为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心
率为()
A. B.
C. D.
[答案]B
[解析]记|F1F2|＝2c，则|PF1|＝ ，|PF2|＝ ，所以椭圆的离
心率为 ＝ ＝，选B.
5．(2011·台州二模)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F 且倾斜
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角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A、B 两点，则
的值为()
A．5B．4C．3D．2
[答案]C
[解析]由题意设直线l 的方程为y＝ (x－)，即x＝ ＋，
代入抛物线方程y2＝2px 中，整理得 y2－2py－ p2＝0，设A(xA，
yA)，B(xB，yB)，则yA＝ p，yB＝－ p，所以 ＝| |＝3.
6．(2012·东北三校一模)已知直线y＝x 与双曲线－＝1 交于
A、B 两点，P 为双曲线上不同于A，B 的点，当直线PA，PB 的斜率
kPA，kPB 存在时，kPA·kPB＝()
A. B.
C. D．与P 点位置有关
[答案]A
[解析]设点A(x1，y1)、B(x2，y2)、P(x0，y0)，则由 消去x
得y2＝，y1＋y2＝0，y1y2＝－ ，(y1＋y0)(y2＋y0)＝y1y2＋y ＋y0(y1＋
y2)＝y － ，(x1＋x0)(x2＋x0)＝(2y1＋x0)(2y2＋x0)＝4y1y2＋x ＋2x0(y1＋
y2)＝4y1y2＋x ＝x －4× ＝9( ＋1)－4× ＝ (y － )，
·＝.
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· | 由 | 得 | ＝ | ，即 | ＝· | · | ，同理有 | ＝ |
，于是有kPA·kPB＝ | · | ＝( )2· | ＝( )2× ＝， | |||||
选A.
7．已知过双曲线 | － | ＝1 右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲 |
线右支有两个交点，则双曲线的离心率e 的取值范围是________．
[答案](1， )
[解析]由条件知，渐近线的倾斜角小于45°，即<1，∴
<1，∴<2，
即e2<2，∵e>1，∴1<e< .
8．设直线l：y＝2x＋2，若l 与椭圆x2＋＝1 的交点为A、B，
点P 为椭圆上的动点，则使△PAB 的面积为________．
[答案]3
－1的点P的个数为
[解析]设与l 平行且与椭圆相切的直线方程为y＝2x＋b，代入x2
＋＝1 中消去y 得，8x2＋4bx＋b2－4＝0，
由Δ＝16b2－32(b2－4)＝0 得，b＝±2 ，
显见y＝2x＋2 与两轴交点为椭圆的两顶点A(－1,0)，B(0,2)，
∵直线y＝2x＋2 | 与l 距离d＝ | ， |
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∴欲使S△ABP＝|AB|·h＝h＝ －1，须使h＝ ，∵d＝h，∴
直线y＝2x＋2 与椭圆切点，及y＝2x＋4－2 与椭圆交点均满足，
这样的点P 有3 个．
9．已知F 是椭圆 ＋ ＝1(a>0，b>0)的左焦点，若椭圆上存在
点P，使得直线PF 与圆x2＋y2＝b2相切，当直线PF 的倾斜角为 时，
此椭圆的离心率是________．
[答案]
[解析]依题意得OP⊥PF，∵直线PF 的倾斜角为 ，∴∠OFP＝
，∴sin ＝＝ ，椭圆的离心率e＝＝ ＝ ＝
＝ .
10．(2012·昆明一中测试)过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F 作
直线l 与抛物线C 交于A、B 两点，当点A 的纵坐标为1 时，|AF|＝
2.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若直线l 的斜率为2，问抛物线C 上是否存在一点M，使得MA
⊥MB，并说明理由．
[解析](1)由抛物线的定义得|AF|等于点A到准线y＝－的距离，
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∴1＋＝2，∴p＝2，
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∴抛物线C 的方程为x2＝4y.
(2)抛物线C 的焦点为F(0,1)，直线l 的方程y＝2x＋1，设点A、B、M 的坐标分别为(x1，)、(x2，)、(x0，)，由方程组 消去y 得，x2＝4(2x＋1)，
即x2－8x－4＝0，
由韦达定理得x1＋x2＝8，x1x2＝－4.
∵MA⊥MB，∴ | · | ＝0， |
∴(x1－x0)(x2－x0)＋( －)( －)＝0，
∴(x1－x0)(x2－x0)＋ (x1－x0)(x2－x0)(x1＋x0)(x2＋x0)＝0.
∵M 不与A，B 重合，∴(x1－x0)(x2－x0)≠0，
∴1＋ (x1＋x0)(x2＋x0)＝0，x1x2＋(x1＋x2)x0＋x ＋16＝0，
∴x ＋8x0＋12＝0，∵Δ＝－48>0.
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∴方程x ＋8x0＋12＝0 有解，即抛物线C 上存在一点M，使得MA
⊥MB.
能力拓展提升
11.(2011·大纲全国理，10)已知抛物线C：y2＝4x 的焦点为F，直
线y＝2x－4 与C 交于A，B 两点，则cos∠AFB＝()
A. B.
C．－ D．－
[答案]D
[解析]方法一：联立
解得 | 或 | 不妨设A 在x 轴上方， |
∴A(4,4)，B(1，－2)，
∵F 点坐标为(1,0)，∴ | ＝(3,4)， | ＝(0，－2)， | |
cos∠AFB＝ | ＝ | ＝－. | |
方法二：同上求得A(4,4)，B(1，－2)，|AB|＝3 ，|AF|＝5，|BF|
＝2，
由余弦定理知，
cos∠AFB＝ ＝－.
12.(2012·江西七校联考)如图，有公共左顶点和公共左焦点F 的
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椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a1 和a2，半焦距分别为c1 和c2.则下
列结论不正确的是()
A．a1＋c1>a2＋c2 B．a1－c1＝a2－c2
C．a1c2<a2c1 D．a1c2>a2c1
[答案]D
[解析]依题意得，a1>a2，c1>c2，a1＋c1＞a2＋c2；两个椭圆的左
焦点到左顶点的距离相等，即有a1－c1＝a2－c2；由a1>a2，得 < ，
又a1－c1＝a2－c2，因此 < ，即有 < ，a1c2<a2c1.因此，
不正确的结论是D，选D.
13．若直线mx＋ny－5＝0与圆x2＋y2＝5没有公共点，则过点P(m，
n)的直线与椭圆＋＝1 的公共点的个数是()
A．0B．1C．2D．无法确定
[答案]C
[解析]因为直线mx＋ny－5＝0 与圆x2＋y2＝5 没有公共点，所
以 | > | ，即m2＋n2<5，所以点P(m，n)在圆x2＋y2＝5 的内部， |
而该圆在椭圆＋＝1 内部，故点P(m，n)在椭圆＋＝1 的内部，
所以过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1 一定相交，故公共点的个数
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是2.
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14．(2012·安徽文，14)过抛物线y2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A，B 两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.
[答案]
[解析]本题考查抛物线定义、直线与抛物线的位置关系．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|＝3 及抛物线定义可知x1＋1＝3，
x1＝2，∴A(2,2 | )，则直线AF 斜率为k＝ | ＝2 | ， | |||
所以AB 方程为y＝2 | (x－1)， | |||||
由 | 联立消去y 得，2x2－5x＋2＝0， | |||||
解之得x1＝2，x2＝，∴B( ，－ | )， | |||||
所以|BF|＝x2＋1＝＋1＝.
15．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P，Q 两点．
(1)求椭圆的方程；
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(2)当直线l 的斜率为1 时，求△POQ 的面积；
(3)在线段OF 上是否存在点M(m,0)，使得以MP，MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
[解析](1)由已知，椭圆方程可设为 | ＋ | ＝1(a>b>0)．∵两个焦 |
点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，∴b＝c＝1，a＝ .
所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)右焦点F(1,0)，直线l 的方程为y＝x－1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由 消去x 得，3y2＋2y－1＝0，
解得y1＝－1，y2＝.
∴S△POQ＝|OF|·|y1－y2|＝|y1－y2|＝.
(3)假设在线段OF 上存在点M(m,0)(0<m<1)，使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x 轴不垂直，所以设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)．
由 可得，(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.
∴x1＋x2＝ ，x1x2＝ .
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＝(x1－m，y1)， | ＝(x2－m，y2)， | ＝(x2－x1，y2－y1)．其 |
中x2－x1≠0 以MP，MQ 为邻边的平行四边形是菱形
?( | ＋ | )⊥ | ?( | ＋ | )· | ＝0 |
?(x1＋x2－2m，y1＋y2)·(x2－x1，y2－y1)＝0?(x1＋x2－2m)(x2－x1)＋(y1＋y2)(y2－y1)＝0?(x1＋x2－2m)＋k(y1＋y2)＝0
?＋k2 ＝0
?2k2－(2＋4k2)m＝0?m＝ (k≠0)．
∴0<m< .
16．双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的离心率为2，坐标原点到直线
AB 的距离为 ，其中A(0，－b)，B(a,0)．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设F 是双曲线的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q，点M 为线段PQ 的中点．若点M 在直线x＝－
2 上的射影为N，满足 | · | ＝0，且| | |＝10，求直线l 的方程． |
[解析](1)依题意有
解得a＝1，b＝ ，c＝2.
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所以，所求双曲线的方程为x2－＝1.
(2)当直线l⊥x 轴时，| |＝6，不合题意．当直线l 的斜率存在
时，设直线l 的方程为y＝k(x－2)．
由 消去y 得，
(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0.①
因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以3－k2≠0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，则x1、x2 是方程①的两个正根，于是有
所以k2>3.②
因为 | · | ＝0，则PN⊥QN，又M 为PQ 的中点，| | |＝10， |
所以|PM|＝|MN|＝|MQ|＝|PQ|＝5.
又|MN|＝x0＋2＝5，∴x0＝3，
而x0＝ | ＝ | ＝3，∴k2＝9，解得k＝±3. |
∵k＝±3 满足②式，∴k＝±3 符合题意．所以直线l 的方程为y＝±3(x－2)．
即3x－y－6＝0 或3x＋y－6＝0.
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1．(2011·辽宁文，7)已知F 是抛物线y2＝x 的焦点，A，B 是该
抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为
()
A. B．1
C. D.
[答案]C
[解析]如图所示：
∵|AF|＝|AK|，|BF|＝|BM|，
∴|AK|＋|BM|＝|AF|＋|BF|＝3，
∴AB 的中点P 到准线的距离为：
|PN|＝(|AK|＋|BM|)＝
∴点P 到y 轴的距离为－＝.
2.(2012·镇江调研)已知抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，过它的顶
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点O 作两条互相垂直的弦OA，OB.
(1)证明直线AB 过定点；
(2)求抛物线顶点O 在AB 上射影M 的轨迹方程．
[解析](1)不妨设A(2px ，2px1)，B(2px ，2px2)(x1≠x2)，则直线AB 的斜率是 ，
于是lAB：y－2px2＝ (x－2px )，
即(x1＋x2)y＝2px1x2＋x，
又∵OA⊥OB，∴· ＝－1.
因此，直线方程为(x1＋x2)y＝－2p＋x，令y＝0 得x＝2p，∴lAB 恒过定点(2p,0)．
(2)由(1)的结论可知，AB 过定点N(2p,0)．
设M(x，y)，当AB 斜率存在时，由KOM·KAB＝－1 可知，
·＝－1，即(x－p)2＋y2＝p2.
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当AB⊥x 轴时，点M 与点N 重合，方程也满足．
∴点M 的轨迹方程是(x－p)2＋y2＝p2.它表示以点(p,0)为圆心，p为半径的圆(去掉坐标原点)．
3．已知动点P 到定点F(
的距离之比为.
，0)的距离与点P到定直线l：x＝2
(1)求动点P 的轨迹C 的方程；
(2)设M、N 是直线l 上的两个点，点E 与点F 关于原点O 对称，
若 | · | ＝0，求|MN|的最小值． |
[解析](1)设点P(x，y)，
依题意有， | ＝ | ，整理得＋＝1， |
所以动点P 的轨迹C 的方程为＋＝1.
(2)∵点E 与点F 关于原点O 对称，
∴点E 的坐标为(－ ，0)．
∵M、N 是直线l 上的两个点，
∴可设M(2 ，y1)，N(2 ，y2)(不妨设y1>y2)．
∵ ·＝0，∴(3 ，y1)·(，y2)＝0，
∴6＋y1y2＝0，即y2＝－.
由于y1>y2，∴y1>0，y2<0.
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∴|MN|＝y1－y2＝y1＋≥2 ＝2 .
当且仅当y1＝ ，y2＝－ 时，等号成立．
故|MN|的最小值为2 .
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