2013高三数学总复习9-2简单几何体的表面积和体积

9-2 简单几何体的表面积和体积

基础巩固强化

1.纸制的正方体的六个面根据其实际方位分别标记为上、下、东、

南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，

得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是()

A．南 B．北

C．西 D．下

[答案]A

[解析]将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为上，最

右面为东，则前面为△，可知“△”的实际方位为南．

2．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知

这个球的体积为 ，那么这个三棱柱的体积是()

A．96 B．48 C．24 D．16

[答案]B

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[解析]已知正三棱柱的高为球的直径，底面正三角形的内切圆

是球的大圆．设底面正三角形的边长为a，球的半径为R，则a＝2

3．(2012·新课标全国，7)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()

A．6 B．9 C．12 D．18 [答案]B

[解析]由三视图知，该几何体是一个三棱锥，由俯视图知三棱

锥的底面是等腰三角形，底边长为6，底边上的高为3，面积S＝

×6×3＝9，由正视图和侧视图可知棱锥的高为3，∴体积V＝×9×3

＝9.

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4．(文)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()

A．2 B．1

C. D.

[答案]B

[解析]由几何体的三视图可知，该几何体是直三棱柱，其直观

(理)(2011·潍坊二检)如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为()

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A. B.

C. D.

[答案]B

[解析]

截去一角在正视图中位于左侧上部，在侧视图中位于右侧上部，

结合俯视图可知，截去的一角应位于几何体的上部左前方，可画出多

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面体的形状如图．这个多面体是由长方体截去一个正三棱锥而得到的，

所以所求多面体的体积V＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－×(

×2×2)×2＝.

5．(文)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

()

A．2π＋2 B．4π＋2

C．2π＋ D．4π＋

[答案]C

[解析]由几何体的三视图可知，该几何体是由一个底面直径和

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高都是2 的圆柱和一个底面边长为

故选C.

[点评]由三视图想象几何体的形状时，一要注意常见柱、锥、台的三视图结构特征，二要注意方位，三要注意细节．

本题中正视图与侧视图都不变，若俯视图中把外部的圆改为正方形，则几何体就是上部为正四棱锥，下部为正四棱柱的组合体． (理)(2011·湖南文，4)设下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()

A．9π＋42 B．36π＋18

C. π＋12 D. π＋18

[答案]D

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[解析]由三视图可知，该几何体是一个球体和一个长方体的组

合体．其中，V 球＝π·( )3＝

18.

6.(2012·山西高考联合模拟)一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其正视图和侧视图如图所示，则这个几何体最多可由这样的正方体组成的个数为()

A．12 个 B．13 个
C．14 个 D．18 个
[答案]B
[解析]由正视图知该几何体有三列，左右两排都存在2 层的情形，中间一排，只有一层，由侧视图知，该几何体有三行，前后两排都存在2 层的情形，中间一排只有一层，因此此几何体最多可由13个小正方体组成，你能求出最少可由多少个小正方体构成吗？

7．圆台的上、下底半径分别为2 和4，母线长为4，则截得此圆台的圆锥侧面展开图的中心角为________．

[答案]π

[解析]如图，设PD＝x，则＝

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∴θ＝×2π＝π.

8．一个底面半径为1，高为6 的圆柱被一个平面截下一部分，如图(1)所示，截下部分的母线最大长度为2，最小长度为1，则截下部分的体积是________．

[答案]

[解析]根据对称性把它补成如图(2)所示的圆柱，这个圆柱的高

是3，体积是所求几何体体积的2 倍，故所求的几何体的体积是

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9．圆柱内切球的表面积为4π，则圆柱的表面积为________．[答案]6π

[解析]设球半径为R(R>0)，则圆柱的底面半径为R，高为2R，

由条件知，4πR2＝4π，∴R＝1.

∴圆柱的表面积S＝2π·R2＋2πR·2R＝6πR2＝6π.

10．已知P 在矩形ABCD 的边DC 上，AB＝2，BC＝1，F 在AB上且DF⊥AP，垂足为E，将△ADP 沿AP 折起，使点D 位于D′位置，连接D′B、D′C 得四棱锥D′－ABCP.

(1)求证：D′F⊥AP；
(2)若PD＝1，且平面D′AP⊥平面ABCP，求四棱锥D′－ABCP的体积．

[解析](1)∵AP⊥D′E，AP⊥EF，D′E∩EF＝E，

∴AP⊥平面D′EF，∴AP⊥D′F.

(2)∵PD＝1，∴四边形ADPF 是边长为1 的正方形，

∴D′E＝DE＝EF＝ ，

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∵平面D′AP⊥平面ABCP，D′E⊥AP，∴D′E⊥平面ABCP，∵S 梯形ABCP＝×(1＋2)×1＝，

∴VD′－ABCP＝×D′E×S 梯形ABCP＝ .

能力拓展提升

11.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.动点E，F 在棱A1B1

上，点Q 是棱CD 的中点，动点P 在棱AD 上．若EF＝1，DP＝x，

A1E＝y(x，y 大于零)，则三棱锥P－EFQ 的体积()

A．与x，y 都有关
C．与x 有关，与y 无关[答案]C

[解析]设P 到平面EFQ 的距离为h，则VP－EFQ＝×S△EFQ·h，

由于Q 为CD 的中点，∴点Q 到直线EF 的距离为定值 ，又EF＝

1，∴S△EFQ 为定值，而P 点到平面EFQ 的距离，即P 点到平面A1B1CD

的距离，显然与x 有关与y 无关，故选C.

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12．(2011·陕西文，5)某几何体的三视图如图所示，则它的体积

为()

A．8－ B．8－

C．8－2π D.

[答案]A

[解析]由三视图知，原几何体为如图所示一正方体挖去一个与

正方体等高底面是正方形的内切圆的圆锥，则其体积为V＝23－

π×12×2＝8－ .故选A.

13．(2011·东北三校)一个几何体的三视图及部分数据如图所示，

侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于

()

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A. B.

C. D.

[答案]A

[解析]由三视图知，这是一个四棱锥，其底面为正方形，一条

侧棱垂直于底面其长度为2，底面正方形对角线长为1，∴边长为 ，

体积V＝×( )2×2＝.

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14．(文)一等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的表面积为24π，一

圆锥与此圆柱一个底面重合，顶点在另一个底面上，则此圆锥的表面

积为________．

[答案]4( ＋1)π

[解析]设圆柱底半径为R，则2πR2＋2πR·2R＝24π，∴R＝2，

∴圆锥的底半径为R＝2，高为4，

母线长l＝＝2 ，

∴圆锥的表面积S＝πR2＋πRl＝4π＋4 π＝4( ＋1)π.

(理)圆锥的高为4，侧面积为15π，其内切球的表面积为________．

[答案]9π

[解析]

设圆锥底面半径为r(r>0)，则母线长l＝ ，由πrl＝15π 得

r· ＝15，解之得r＝3，∴l＝5.

设内切球半径为R，作出圆锥的轴截面如图，则BD＝BO1＝3，PD

＝5－3＝2，PO＝4－R，

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∵OD⊥PB，

∴R2＋4＝(4－R)2，∴R＝，

∴球的表面积S＝4πR2＝9π.
15．(文)

(2011·安徽省淮南市模拟)如图是以正方形ABCD 为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体，四边形EFGH 为截面，且AB＝BC＝，AE＝1，BF＝DH＝2，CG＝3.

(1)证明：截面四边形EFGH 是菱形；(2)求几何体C－EFGH 的体积．

[解析](1)证明：因为平面ABFE∥平面CDHG，
且平面EFGH 分别交平面ABFE、平面CDHG 于直线EF、GH，所以EF∥GH.同理，FG∥EH.

因此，四边形EFGH 为平行四边形．

因为BD⊥AC，而AC 为EG 在底面ABCD 上的射影，

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所以EG⊥BD.

因为BF 綊DH，所以FH∥BD.因此，FH⊥EG.所以四边形EFGH 是菱形．

(2)解：连接CE、CF、CH、CA，
则VC－EFGH＝V－VC－ABFE－VC－ADHE，其中V 是几何体的体积，∵AE＝1，BF＝DH＝2，CG＝3 且几何体是以正方形ABCD 为底面的正四棱柱的一部分，
所以该几何体的体积为
V＝( )2×2＝4，

VC－ABFE＝×S 四边形ABFE×BC

＝× (AE＋BF)×AB×BC

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＝×(1＋2)×

×

＝1.

同理，得VC－ADHE＝1，
所以，VC－EFGH＝V－VC－ABFE－VC－ADHE＝4－1－1＝2，