电磁学09稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理

来源：华拓科技网

电磁学——第九讲稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理_20121001

第九讲稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理

01磁感应线

为描述空间磁场的分布，人为引入一系列假想的曲线(1831年法拉第首次引入)。曲线的疏密反

映磁感应强度的大小，曲线每一点切线方向表示磁感应强度的方向。这些假想的曲线称为磁感应线。

量	?n	如图XCH003_106 所示，在磁场分布的空间一点选取一面积元			?dS	，面积元法线方向用单位矢
		表示，该面积元在磁感应强度方向上的投影大小	dS?	。

磁感应强度大小：

B	?	d	?	m	——通过垂直	?B	方向上单位面积的磁感应线条数，也称为磁感应线密度
		dS?

磁感应强度方向沿该点磁感应线的切线方向，即小磁针放在该点静止时，N 所指的方向。

02 磁通量

如图XCH003_106 所示，通过

?dS

的磁通量：

??m

? ?

B dS

——

为正；

——

为负

穿过曲面

的磁通量：

REVISED TIME: 13-1-1

— 1 －

CREATED BY XCH

电磁学——第九讲稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理_20121001

??m

?SB dS

——如图XCH003_097 所示

规定面元法线方向由里向外为正，如图XCH003_107 所示，通过一个闭合曲面

的磁通量：

??m

? ?

B dS

——穿过闭合曲面

的磁通量为净穿过闭合曲面磁感应线的总条数

03磁场的高斯定理

? ?

??SB dS

——无源场

，穿入的磁感应线的总数必然等于穿出的

由于磁感应线是闭合线，因此，对于一个闭合曲面

磁感应线总数，即通过任一闭合曲面的磁通量总是零。稳恒磁场的高斯定理是电磁场理论的基本方

程之一。

04安培环路定理

1安培环路定理

在恒定电流产生的磁场中，磁感应强度沿任一闭合回路

的线积分，等于闭合回路包围的所有

电流代数和的

倍。

??L

? ?

B dr

int

——安培环路定理的数学表达式

?安培环路定理的证明

1) 无限长载流直导线——平面闭合回路						L	垂直于导线，回路绕行方向和电流满足右手螺旋关系
导线周围的磁感应强度：	B	?	?0	I	，如图XCH003_126 所示。
			2?r		，如图XCH003_126 所示。

B dr?

? ?

?dr

cos?

由几何关系：

?dr

cos?

rd?

???

B dr

??L

? ?

B dr

Id?

?0 d?

??L

REVISED TIME: 13-1-1

— 2 －

CREATED BY XCH

电磁学——第九讲稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理_20121001

2)无限长载流直导线——平面闭合回路垂直于导线，回路绕行和电流不满足右手螺旋关系，如

图XCH003_126_01所示。

? ?

B dr

?dr

cos?

——

?dr

cos??

?dr

cos(??

rd?

2?r

B dr?

? ?

?0 ?

Id?

? ?

?LB dr

???0

——电流

对环路积分的贡献与电流方向有关

——规定电流与闭合回路绕行方向满足右手螺旋关系时，对回路积分贡献为正

3)无限长载流直导线——平面闭合回路L不垂直于导线，绕行方向和电流满足右手螺旋关系

dr在电流方向和垂直于电流方向投影：

dr??dr?

//?dr?

?——如图XCH003_126_02所示

??L

Bdr?????L

Bdr
? ?

//???L

Bdr
??

??LBdr
? ?

??0——dr ?

?与电流同方向，与磁场垂直

??L

? ?

B dr

??L

B dr
?

//cos?

——如图XCH003_126_03 所示

dr
?

//cos?

rd?

——

2?r

??L

? ?

B dr

2??0 Id?

?0 2?

REVISED TIME: 13-1-1

— 3 －

CREATED BY XCH

电磁学——第九讲稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理_20121001

4) 无限长载流直导线——平面闭合回路

不包围电流，如图XCH003_127 所示。

??L

? ?

B dr

?L 1

B dr

?L 2

B dr

? ?

B dr

?L 1

d??

?L 2

d??

?0 ( I

??)

?L 2

——积分方向与电流不是右手螺旋关系

??L

? ?

B dr

?0 I

?0 ( I

??)

5) 任意形状电流___闭合回路为非平面___多个电流同时存在的情况

可以证明安培环路定理依然成立：

??L

? ?

B dr

int

如图XCH003_126_04 所示。

?安培环路定理的意义

??L

? ?

B dr

int

——与

形状大小无关，只与闭合回路包围的电流有关

??L

? ?

B dr

int

——与闭合回路的绕行方向满足右手螺旋关系的电流对积分贡献为正，反

之为负，式中的磁感应强度是空间所有电流在积分回路上共同产生的。

闭合回路与包围电流的含义：
与闭合回路相铰链的电流为回路包围的电流，如图XCH003_128_01 所示的电流1 和电流2 为回路包围的电流，电流3 和电流4 则不是。

REVISED TIME: 13-1-1

— 4 －

CREATED BY XCH

电磁学——第九讲稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理_20121001

对环路

的积分：

??LB dr

(

)

cfabc

和电流回路

cdefc

形成的。

如图XCH003_128_02 所示的螺旋型电流，可以看作是电流回路

对环路

的积分：

??L

? ?

B dr

int

——

int

? ?

??LB dr

2?0

05安培环路定理的应用
1)分析电流分布的对称性
无限长均匀载流直导线、圆柱面、圆柱体；无限长载流直螺线管、环形载流螺线管；无限大载流平面。

2)分析磁场分布对称性
无限长均匀载流导线、圆柱面、圆柱体：磁力线为环绕中心轴线的同心圆，一个圆环上各点的磁感应强度大小相等，方向沿切线方向。

无限长直螺线管：管内磁场沿轴线方向，同一条磁力线上各点磁感应强度大小相等。

环形螺线管：管内磁场沿环形切线方向，同一个圆环上各点磁感应强度大小相等。

各种电流分布产生的磁场，磁感应强度方向总是与电流方向满足右手螺旋关系。

3)选取积分回路
回路上各点磁感应强度大小为常数、方向沿回路各点切线方向，或回路上部分磁感应强度积分为零，部分磁场为常数；规定闭合回路绕行的正方向。

4)应用安培环路定理

根据

??L

B dr

int

进行计算

5)对于电流分布不对称的情况
由安培环路定理计算对称电流的磁场，再应用磁场叠加原理计算。

REVISED TIME: 13-1-1

— 5 －

CREATED BY XCH

电磁学——第九讲稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理_20121001

?计算无限长均匀载流圆柱面在空间产生的磁场。设电流为		I	，圆柱面半径为	R	。

?电流具有轴对称分布特点，磁场具有轴对称性——到轴线距离相同的点，磁感应强度大小相等

假设距轴线r处点磁感应强度可分解为三个垂直方向：

? ? ?

Br,Band B a t，如图XCH003_129_01所示

选取半径为r，底面积和侧面积分别是?Sand?S?的圆柱面为高斯面。

应用高斯定理：

? ?

??SBdS?0

Ba???Ba?S)?Br?S??0

B?r 0 ——磁场在垂直于轴线方向上无分量

再在通电圆柱面外选取一个矩形闭合回路，回路正方向为顺时针，如图XCH003_129_02所示。

应用安培环路定理：

??LBdr ? ???0?Ii——Ba???Ba??l)?0

Ba?B?a ——意味着到轴线距离不相同的点，磁感应强度大小相等

根据电流分布的特点，磁场应该为非均匀分布，因此：

B a

B?a

——磁场在平行于轴线方向上无分量

通电圆柱面在空间激发的磁场：

磁感应线为许多簇同心圆，同一个圆上各点的磁感应强度大小相等，方向沿各点的切线方向。

REVISED TIME: 13-1-1

— 6 －

CREATED BY XCH

电磁学——第九讲稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理_20121001

?圆柱面外磁场的计算

选取半径

r r

)

的圆为闭合回路，如图XCH003_129_03 所示

应用安培环路定理：

? ?

??LB dr

2?r

B??0 I

2?r

——与无限长载流直导线产生磁场一致

?圆柱面内磁场的计算

选取半径

r r

)

的圆为闭合回路，如图XCH003_129_04 所示

应用安培环路定理：

? ?

??LB dr

2?r

B ?

——磁场分布如图XCH003_129_05 所示

REVISED TIME: 13-1-1

— 7 －

CREATED BY XCH

电磁学——第九讲稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理_20121001

?计算无限长均匀载流圆柱导体产生的磁场。设均匀电流

在圆柱面内，圆柱体半径为R。如图

XCH003_141_00所示

?电流具有轴对称分布特点，磁场具有轴对称性，即到轴线距离相同的点，磁感应强度大小相等；

距离不同的点，磁感应强度不同。

磁场线为许多簇同心圆，同一个圆上各点的磁感应强度大小相等，方向沿各点的切线方向。

区域：取半径为

r r

)

的圆为闭合回路，如图XCH003_141_01 所示

应用安培环路定理：

??LB dr

2?r

B??0 I

2?r

——与无限长载流直导线和通电圆柱面产生磁场一致

区域：取半径为

r r

)

的圆为闭合回路，如图XCH003_141_02 所示。

应用安培环路定理：

2?r

I
(
?R

)?r

2?r

2
?

?
0

R
I

2 r

磁场分布如图XCH003_141_03所示

REVISED TIME: 13-1-1

— 8 －

CREATED BY XCH

电磁学——第九讲稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理_20121001

?计算长直螺线管内部的磁场。已知长直螺线管单位长度的匝数为

，导线内通有电流

。

?根据电流分布的对称性，可以得出管内磁感应线是一系列于轴线平行的直线，到轴线相同的点，磁感应强度大小相等。长直螺线管的外部，可以认为场强近似为0。

点的磁感应强度的计算：过

点作矩形闭合路径

?，如图所示。

沿闭合路径

的线积分：

? ? ? ? ? ? ?? ? ?

??L

B dl

?ab

B dl

?bc

B dl

?cd

B dl

?da

B dl

? ?

?abB dl

B ab

?
应用安培环路定理：

???LB dr

?0 nI ab

B ab

?0 nI ab

?0 nI

由于

?
点是任取的，所以长直螺线管内任一点的

值均相同，方向平行于轴线。

?通电螺绕环，总匝数为

，导线内通有电流

，假设螺绕环的半径比环管的截面半径大许多。求

空间磁场分布。

?环内的磁力线为同心圆，同一条磁力线上各点的磁感应强度大小相等，如图XCH003_130 所示。

区域：

r 1

r 2

：应用安培环路定理：

? ?

??LB dr

2?r

——

2?r

r 1

r 2

)

螺绕环的半径比环管的截面半径大许多：

1 ( 2

2?R

?0 nI

——

：螺绕环单位长度的匝数

2?R

r 1

的空间：

??L

B dr

——

B ?

r 2

的空间：

??L

B dr

——

B ?

REVISED TIME: 13-1-1

— 9 －

CREATED BY XCH

电磁学——第九讲稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理_20121001

?空气中有一半径为

的“无限长”直圆柱金属导体，竖直线

OO?

为其中心轴线，在圆柱体内挖一

个直径为

1
2r

的圆柱空洞，空洞侧面与

OO?

相切，在未挖洞部分通以均匀分布的电流

，方向沿

OO?

向下，如图Q_02178_03 所示，在距轴线3r处有一电子（电量为?e）沿平行于OO?轴方向，在中

心轴线OO?和空洞轴线所决定的平面内，向下以速度v?

飞经P点，求电子经P点时所受的力。

?利用补偿法计算

点磁感应强度(负电流法)

点的磁感应强度由电流密度为

/16)

半径为

、电流向下的“无限长”直圆柱金属导

体和电流密度为：

/16)

半径为

/ 4

、电流向上“无限长”直圆柱金属导体共同产生的。

如图Q_02178_04 所示。

点的磁感应强度：

?
B

?
B 1

?
B 2

B 1

——将

I r?

/16)

和

d 1

3 r

代入得到:

B 1

I r?

/16)

，

B 1

——方向垂直纸面向里

3 r

6?r

B 2

——将

I r?

/16

和

3 r

代入得到

/16)

B 2

(3 r

)

I r

/16

，

B 2

——方向垂直纸面向外

/16)

11?r

点的磁感应强度大小:

B 1

B 2

，

82
495

——方向垂直纸面向里

?电子受到的洛伦兹力：F

?
e v?

?
B

F? 82?0 Ie v

——方向向左，如图Q_02178_03 所示

495?r

REVISED TIME: 13-1-1

— 10 －

CREATED BY XCH