2013高三数学总复习选修4-5-1绝对值不等式

对应学生书P
1．(2010·陕西)不等式|x＋3|－|x－2|≥3的解集为__________．

解析：原不等式可化为
或
或
∴x∈?，或1≤x＜2，或x≥2.

故不等式的解集为{x|x≥1}.

答案：{x|x≥1}
2．(2010·福建)已知函数f(x)＝|x－a|.

(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.

解析：方法一：(1)由f(x)≤3，得|x－a|≤3，
解得a－3≤x≤a＋3.

又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，
于是有解得a＝2.

(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|，
设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，
于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝

从而当x＜－3时，g(x)＞5；
当－3≤x≤2时，g(x)＝5；
当x＞2时，g(x)＞5.

综上，可得g(x)的最小值为5.

从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．

方法二：(1)同解法一．

(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|.

设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)．

由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)，得g(x)的最小值为5.

从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5].

3．(2010·课标全国卷)设函数f(x)＝|2x－4|＋1.[来源:Z§xx§k.Com](1)画出函数y＝f(x)的图像；
(2)若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围.

解析：(1)由于f(x)＝ 则函数y＝f(x)的图像如图所示．

(2)由函数y＝f(x)与函数y＝ax的图像可知，当且仅当a≥，或a＜－2时，函数y＝f(x)

与函数y＝ax的图像有交点．故不等式f(x)≤ax的解集非空时，a的取值范围为(－∞，－

(1)当a＝－5时，求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围．

解析：(1)由题设，知|x＋1|＋|x－2|－5≥0，

如图，在同一坐标系中作出函数y＝|x＋1|＋|x－2|和y＝5的图像，得定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．

(2)由题设，知当x∈R时，恒有
|x＋1|＋|x－2|＋a≥0，
即|x＋1|＋|x－2|≥－a.

又由(Ⅰ)|x＋1|＋|x－2|≥3，得－a≤3?a≥－3.[来源:学.科.网Z.X.X.K]

5．(2011·沈阳市质检)已知函数
f(x)＝log2(|x－1|＋|x－5|－a)．

(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；
(2)当函数f(x)的定义域为R时，求实数a的取值范围．

解析：函数的定义域满足[来源:学&科&网]
|x－1|＋|x－5|－a＞0，
即|x－1|＋|x－5|＞a.

(1)当a＝2时，
f(x)＝log2(|x－1|＋|x－5|－2)，
设g(x)＝|x－1|＋|x－5|，则
g(x)＝|x－1|＋|x－5|＝

g(x)min＝4·f(x)min＝log2(4－2)＝1.

(2)由(Ⅰ)知，g(x)＝|x－1|＋|x－5|的最小值为4，
|x－1|＋|x－5|－a＞0，得a＜4，

故a的取值范围是(－∞，4)．

6．(2011·银川一中月考)已知不等式2|x－3|＋|x－4|＜2a.

(1)若a＝1，求x的取值范围；
(2)若已知不等式解集不是空集，求a的取值范围．

解析：(1)由a＝1，得2|x－3|＋|x－4|＜2，
即|x－3|＋|x－4|＜1.

∵(|x－3|＋|x－4|)min＝1，∴x∈?.

(2)由2|x－3|＋|x－4|＜2a，得
|x－3|＋|x－4|＜a.

∵(|x－3|＋|x－4|)min＝1，
∴要使不等式解集不是空集，应有a＞1.

即使不等式解集不是空集的a的取值范围是(1，＋∞)．

7．已知一次函数f(x)＝ax－2.

(1)当a＝3时，解不等式|f(x)|＜4；
(2)解关于x的不等式|f(x)|＜4；
(3)若不等式|f(x)|≤3对任意x∈[0,1]恒成立，求实数a的取值范围．

解析：(1)当a＝3时，则f(x)＝3x－2，
∴|f(x)|＜4?|3x－2|＜4
?－4＜3x－2＜4?－2＜3x＜6

?－＜x＜2，

∴不等式的解集为{x|－＜x＜2}．

(2)|f(x)|＜4?|ax－2|＜4
?－4＜ax－2＜4?－2＜ax＜6，[来源:学*科*网]
当a＞0时，不等式的解集为

{x|－＜x＜}；

当a＜0时，不等式的解集为

{x|＜x＜－}．

(3)|f(x)|≤3?|ax－2|≤3?－3≤ax－2≤3[来源:Zxxk.Com]

?－1≤ax≤5?
∵x∈[0,1]，
∴当x＝0时，不等式组恒成立；当x≠0时，不等式组转化为

又∵≥5，≤－1，

∴－1≤a≤5且a≠0.

8．(2011·常州模拟)设全集U＝R.

(1)解关于x的不等式|x－1|＋a－1＞0(a∈R)；

恰有3个元素，求a的取值范围．

解析：(1)由|x－1|＋a－1＞0得
|x－1|＞1－a.

当1－a＜0即a＞1时，解集是R；
当1－a＝0，即a＝1时，解集为{x|x∈R且x≠1}；当1－a＞0，即a＜1时，
x－1＜a－1或x－1＞1－a，
∴x＜a或x＞2－a.

综上，当a＞1时，原不等式的解集为R；
当a＝1时，原不等式的解集为
{x|x∈R且x≠1}；
当a＜1时，原不等式的解集为
{x|x＜a或x＞2－a}．